Obsah
Škálovitý trojuholník s uhlami 30, 60 a 90 stupňov je podľa definície trojuholník, pretože jeden z uhlov má 90 stupňov, tj je to pravý uhol. Takéto trojuholníky sú v trigonometrických inštrukciách veľmi bežné, takže je zaujímavé poznať ako dĺžky strán tohto typu trojuholníka, tak aj to, ako sa dá odvodiť.
inštrukcia
-
Orientujte trojuholníkový trojuholník tak, že stredne veľká strana je horizontálna zdola a menšia strana je sprava. Potom bude uhol 30 stupňov vľavo a uhol 60 stupňov smerom nahor. Nájdite dĺžku prepony s písmenom H.
-
Určite dĺžku kratšej strany delením H na 2. Určite dĺžku spodnej strany vynásobením H √3 / 2. Prípadne nájdite dĺžku spodnej strany vynásobením kratšej strany √3, čo môže byť ľahšie zapamätateľné ako číslo /3 / 2.
-
Určite H, ak sa jedna z ostatných strán nájde vynásobením kratšej strany o 2 alebo vynásobením priemernej dĺžky o 2 / √3. Samozrejme, ak už poznáte dve strany, môžete použiť Pythagoreanovu vetu na nájdenie tretej, pretože je to pravý trojuholník.
-
Odvodte sa z toho, kde predchádzajúce čísla prišli nasledovne: umiestnite dva trojuholníky 30-60-90 stupňov rovnakej veľkosti vedľa seba, so strednou dĺžkou poklepania v strede a kratšie strany tvoriace priamku smerom ku dnu. Všimnite si, že tieto dva trojuholníky teraz tvoria trojuholník so všetkými uhlami rovnajúcimi sa 60 stupňom. Trojuholník je teraz rovnostranný. Pretože všetky uhly sú rovnaké, dĺžky sú rovnaké. Preto majú tri strany dĺžku H. Všimnite si, že spodná strana má dĺžku H. Pretože spodná strana sa skladá z dvoch kratších strán, kratšia strana trojuholníka uhlov 30-60-90 je H / 2. Podľa Pythagorovej vety musí byť stredná strana H√3 / 2.
tipy
- Strany skalnatého trojuholníka s dĺžkou prepony v 1 sa často objavujú v trigonometrických cvičeniach. Ak umiestnite trojuholník do kruhu tak, že kratšia strana sa dotýka kladnej osi x a prepona dĺžky 1 siaha od začiatku k kruhu, priesečník v kruhu má súradnicu x 1/2 ey √3 / 2. Jedná sa o sínus a kosínus o 30 stupňov. Ak je trojuholník otočený takým spôsobom, že stredná dĺžka leží na kladnej osi x, miesto priesečníka v kruhu má súradnicu x √3 / 2 a y 1/2. Hovorí sa, že 60 stupňový kosínus je 1/2 a sínus 60 stupňov je /3 / 2. Podobným uvažovaním sú sínus a kosínus 45 stupňov obidva √2 / 2 = 1 / √2, pretože trojuholník uhlov 45-45-90 s preponkou má strany v dĺžke 1 / √2. Všimnite si, že pri prechode z 30 na 45 až 60 stupňov kosínus klesá z √3 / 2 na √2 / 2 na √1 / 2 (= 1/2) a sínus sa zvyšuje z √1 / 2 na √2 / 2 až /3 / 2. Tento vzor generuje zaujímavú mnemotechnickú pomůcku pre čísla diskutované v krokoch jedna, dva a tri.
varovanie
- Nezamieňajte vyššie uvedený trojuholník s rovným trojuholníkom zo strán 3-4-5, ktorý má jednoduchý pomer strán k strane, ale nemá rovnaké uhly ako trojuholník 30-60-90 stupňov.